Số thực, ký hiệu bằng ℝ, là một tập hợp các giá trị liên tục có thể đo khoảng cách trên một đường thẳng. Trong toán học, số thực đóng góp quan trọng trong lĩnh vực giải tích phức và lý thuyết cơ bản. Ngoài ra, chúng còn có vai trò quan trọng trong các lĩnh vực như hình học, vật lý và nhiều lĩnh vực khác.
Tính chất và ứng dụng của số thực
Số thực bao gồm các số hữu tỷ và các số vô tỷ. Các số hữu tỷ bao gồm các số nguyên và phân số, trong khi các số vô tỷ bao gồm các số vô tỷ vĩnh viễn như căn bậc hai của 2 (khoảng 1.41421356...), số π (khoảng 3.14159265...) và các số siêu việt khác.
Số thực không chỉ được sử dụng để đo khoảng cách, mà còn được áp dụng trong việc đo lường thời gian, khối lượng, năng lượng, vận tốc và nhiều đại lượng khác. Tập hợp các số thực được ký hiệu bằng ℜ hoặc R và thường được gọi là "thực".
Tập hợp các số thực có thể được coi như các điểm trên một dòng thẳng vô hạn, gọi là trục số. Mỗi điểm trên trục số tương ứng với một số nguyên. Bất kỳ số thực nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng một dãy số thập phân vô hạn, chẳng hạn như 8.632, trong đó mỗi chữ số liên tiếp đại diện cho một phần mười giá trị của số trước đó. Trục số thực cũng có thể được coi như một phần của mặt phẳng phức.
Mặc dù các định nghĩa ban đầu về số thực không đủ nghiêm ngặt theo tiêu chuẩn toán học hiện đại, nhưng việc nắm bắt một định nghĩa chính xác về số thực đã trở thành một trong những phát triển quan trọng nhất của toán học thế kỷ 19. Định nghĩa chính xác hiện tại của số thực là trường hoàn chỉnh Dedekind (R; +; ·; ), một định nghĩa xây dựng phổ biến là khai báo số thực là tập hợp các dãy số Cauchy của số hữu tỷ hoặc là cắt Dedekind, kết hợp với các phép toán số học và quan hệ thứ tự.
Lịch sử và phát triển
Các khái niệm về số vô tỷ đã được sử dụng từ thời kỳ Ai Cập cổ đại khoảng 1000 TCN, khi phân số đơn giản được sử dụng. Trong sách "Kinh điển Sulba" của Ấn Độ, vào khoảng 600 TCN, số vô tỷ xuất hiện như là các nghiệm đầu tiên không thể chính xác xác định, và từ đó, ý tưởng về số vô tỷ đã được chấp nhận trong toán học Ấn Độ và được phát triển bởi các nhà toán học Hy Lạp và Ả Rập.
Trong thời Trung cổ, các nhà toán học đã chấp nhận các số âm, số nguyên, phân số và số vô tỷ. Các nhà toán học Ả Rập đã kết hợp các khái niệm về số và độ lớn thành một ý tưởng tổng quát về số thực. Trong thế kỷ 16, Simon Stevin đã tạo ra hệ thống ký hiệu thập phân hiện đại và nhấn mạnh không có sự khác biệt giữa các số hữu tỷ và số vô tỷ.
Vào thế kỷ 17, René Descartes đã giới thiệu thuật ngữ "thực" để phân biệt các nghiệm thực và ảo của đa thức. Trong thế kỷ 18 và 19, nhiều công trình nghiên cứu về số vô tỷ và số siêu việt đã được thực hiện. Những công trình này đã đóng góp quan trọng cho sự phát triển của lý thuyết Galois, lý thuyết số và lý thuyết tập hợp.
Định nghĩa chính xác
Hệ thống số thực (R; +; •; ) được định nghĩa bằng cách sử dụng các tiên đề và có những đặc điểm sau:
- Tập hợp R là một trường, tức là có các phép cộng và nhân được xác định và có các thuộc tính thông thường.
- Trường R được sắp xếp theo thứ tự, tức là có một thứ tự ≥ sao cho tất cả các số thực x, y và z:
- Nếu x ≥ y thì x + z ≥ y + z.
- Nếu x ≥ 0 và y ≥ 0 thì xy ≥ 0.
- Thứ tự trên R là hoàn chỉnh Dedekind, tức là mọi tập con không rỗng S của R có giới hạn trên nhỏ nhất (supremum) trong R.
Các thuộc tính này phân biệt số thực với số hữu tỷ và là những đặc trưng quan trọng của số thực.
Tiếp cận bằng tiên đề
Tập hợp R là tập hợp tất cả các số thực, đáp ứng các điều kiện sau:
- R là một trường, tức là có cả phép cộng và phép nhân được xác định và có các thuộc tính thông thường.
- R được sắp xếp theo thứ tự, tức là có một thứ tự ≥ sao cho tất cả các số thực x, y và z:
- Nếu x ≥ y thì x + z ≥ y + z.
- Nếu x ≥ 0 và y ≥ 0 thì xy ≥ 0.
- R có thứ tự hoàn chỉnh Dedekind, nghĩa là mọi tập con đầy đủ không rỗng S của R có giới hạn trên nhỏ nhất nằm trong R.
Các tiên đề này chứng minh tính duy nhất của số thực. Có nhiều cách khác nhau để xây dựng hệ thống số thực và các cách tiếp cận phổ biến bao gồm bắt đầu từ các số nguyên, sau đó xác định các số hữu tỷ và cuối cùng là xác định các số thực dựa trên dãy Cauchy hoặc cắt Dedekind. Cách tiếp cận khác là bắt đầu từ một hệ thống tiên đề chặt chẽ trong không gian Euclid và sau đó xác định hệ thống số thực dựa trên không gian đó. Tất cả các cách tiếp cận này đã được chứng minh là đẳng cấu và do đó tương đương với nhau.
Số thực đã trở thành một thành phần không thể thiếu trong toán học. Sự phát triển của nó đã mở ra những cánh cửa mới cho nhiều lĩnh vực trong khoa học và công nghệ.